Question

我发现很难理解Ackermann功能是如何工作的。我认为我对递归的理解存在缺陷？

以下是Python中的代码：

  def naive_ackermann(m, n):
    global calls
    calls += 1
    if m == 0:
        return n + 1
    elif n == 0:
        return naive_ackermann(m - 1, 1)
    else:
        return naive_ackermann(m - 1, naive_ackermann(m, n - 1))

如果我执行naive_ackermann（3,4）的函数调用，我最终如何以及为什么得到125？

评论将不胜感激。

谢谢

Answer 1

A（3,4）的计算并不像参数的小值那样容易或简短。 Ackermann函数的复杂度（迭代步骤数）随着参数的增长而迅速增长，计算结果也是如此。

以下是来自Wikipedia的Ackermann函数的定义：

enter image description here

正如您所看到的，在每次迭代中， m 的值会减少，直到达到 0 的最后一步为止，此时最终值为 n （+1）为您提供答案。因此，对于答案，您只需要跟踪在执行递归迭代时 n 的变化情况。为什么Ackermann函数增长如此之快，你可以看一下wiki的this小节。

正如Joran Beasley已经提到的， A（3,4）确实是125，正如维基百科所写。但是，获得此结果的过程并不短。事实上，正如我所发现的那样，需要通过递归 315 Ackermann函数值来计算得到 A（3,4），所需的迭代次数大致成比例那个。

如果您仍希望可视化此结果的结果，可以查看this page，它会为每个递归步骤的计算设置动画。但是要注意， A（3,4）将永远在这里完成动画制作，但至少你可能会用较小的参数了解这个过程。

Answer 2

这是打印解释的版本：

def A(m, n, s="%s"):
    print s % ("A(%d,%d)" % (m, n))
    if m == 0:
        return n + 1
    if n == 0:
        return A(m - 1, 1, s)
    n2 = A(m, n - 1, s % ("A(%d,%%s)" % (m - 1)))
    return A(m - 1, n2, s)

print A(2,2)

使用参数2,2输出就是这个。（3,4已经变得有点太多了）

A(2,2)
A(1,A(2,1))
A(1,A(1,A(2,0)))
A(1,A(1,A(1,1)))
A(1,A(1,A(0,A(1,0))))
A(1,A(1,A(0,A(0,1))))
A(1,A(1,A(0,2)))
A(1,A(1,3))
A(1,A(0,A(1,2)))
A(1,A(0,A(0,A(1,1))))
A(1,A(0,A(0,A(0,A(1,0)))))
A(1,A(0,A(0,A(0,A(0,1)))))
A(1,A(0,A(0,A(0,2))))
A(1,A(0,A(0,3)))
A(1,A(0,4))
A(1,5)
A(0,A(1,4))
A(0,A(0,A(1,3)))
A(0,A(0,A(0,A(1,2))))
A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,1)))))
A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,0))))))
A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,1))))))
A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,2)))))
A(0,A(0,A(0,A(0,3))))
A(0,A(0,A(0,4)))
A(0,A(0,5))
A(0,6)
7

Answer 3

ackerman(3,4) 

=ackerman(2,ackerman(3,3)) = ackerman(2,61)    #ackerman(3,3) = 61 ...
=ackerman(1,ackerman(2,60)) = ackerman (1,123)  #ackerman(2,60) = 123...
=ackerman(0,ackerman(1,122)) = ackerman (0,124)  #ackerman(1,122) = 124...
= 124+1 = 125

在此处查看http://goo.gl/jDDEA可视化ackerman(2,3)（可视化3,4太久了）

Answer 4

def ackermann(m,n):
    """computes the value of the Ackermann function for the input integers m and n.
       the Ackermann function being:
       A(m,n)=n+1               if m=0
             =A(m-1,1)          if m>0 and n=1
             =A(m-1,A(m,n-1)    if m>0 and n>0"""
    if m==0:
        print (n+1)
        return n+1
    elif m>0 and n==0:
        print ("ackermann(",m-1,",",1,")")                                          #just 2 chk intrmdt val. and no. of steps invlvd.can be dltd if necessary
        return ackermann(m-1,1)
    elif m>0 and n>0:
        print ("Ackermann(",m-1,",","Ackermann(",m,",",n-1,")",")")                  #just 2 chk intrmdt val. and no. of steps invlvd.can be dltd if necessary
        return ackermann(m-1,ackermann(m,n-1))

只需对代码进行简单修改，以便程序打印每个步骤而不仅仅是结果。代码看起来应该与本页末尾的代码类似。运行它，（可能需要几秒钟），然后你就可以了解如何计算Ackermann函数。

阿克曼函数理解

4 个答案: