我想找到给定基数 k 的 S ，最大化每个点与给定集合 A 之间的最小距离。是否有一个简单的算法来找到这个max-min问题的解决方案？
Given a universe X ⊆ R^d and A ⊆ X,
find the argmax_{S⊆X, |S|=k} min_{s⊆S, s'≠s ⊆ S∪A} distance(s,s')
谢谢！
答案 0 :(得分：3)
对于给定的k，其中X和A作为输入，暴力强制显然在P中（因为C（| X |，k）是| X |中的多项式。）
如果k也是输入，那么它可能取决于“距离”：
如果'距离'是任意的，那么你的问题相当于在图中找到一个固定大小的团（这是NP完全的）：
NP-Hardness ：
获取clique问题的一个实例，即图（G，E）和整数k。 添加到此图中的顶点'a'连接到每个其他顶点，让（G'，E'）成为修改后的图形。
（G'，E'）k + 1则是第一个clique问题实例的等效实例。
创建一个从G'到R ^ d的地图Phi（无论如何都可以在N上映射G'）并定义'距离'，使距离（Phi（c），Phi（d'））= 1 （c，d）⊆E'，否则为0。
X = Phi（G'），A = Phi（{a}），k + 1为您提供问题的实例。
你可以注意到，通过构造s≠Phi（a）＆lt; =＆gt;距离（s，Phi（A））= 1 =最大距离（。，。），即min_ {s⊆S，s'≠s⊆S∪A}距离（s，s'）= min_ {s⊆S，如果| S |，s'≠s S}距离（s，s'） = k＆gt; = 2
解决你的问题的这个实例（X，A，k + 1）：这给你一个基数k + 1的集合S，使得min（距离（s，s'）| s，s'⊆S，s ≠s'）是最大的。
检查是否有s，s'⊆S，s≠s'，距离（s，s'）= 0（这可以用k ^ 2作为| S | = k）：
这解决了多项式简化问题，相当于集团问题（称为NP-hard）。
NP-Easiness ：
让X，A，k成为你问题的一个实例。
对于X min_ {s⊆S，s'≠s⊆S∪A}的任何子集S，距离（s，s'）只能取{distance（x，y），x，y⊆X}中的值 - 它有一个多项式基数 - 。
要找到一个最大化此距离的集合，我们将按递减顺序测试正确集合的每个可能距离。
为了测试距离d，我们首先将X缩小为X'，仅包含距离＆gt; = d的点{A点}本身}。
然后我们创建一个图形（X'，E）¤其中（s，s'）⊆Eiff距离（s，s'）＆gt; = d。
测试这个图的k-clique（它是NP-easy），通过构造有一个iff，那里它的顶点S是一个具有min_ {s⊆S，s'≠s⊆S∪A}距离的集合（s ，s'）＆gt; = d
如果'距离'是欧几里德或有任何有趣的财产，它可能在P中，我不知道，但如果我是你，我不会希望太多。
¤我认为X（因此X'）在这里是有限的
答案 1 :(得分：1)
这可能是NP难的。贪婪地选择离以前选择最远的点是2近似。 根据Arora和Mitchell的Euclidean TSP方案，可能存在一个复杂的低d近似方案。对于d = 10，请忘记它。
答案 2 :(得分：1)
搜索sphere packing np complete的前2个结果显示了对1981年论文的引用，证明在2d中的最佳包装和覆盖是完整的。我无法访问研究图书馆，因此无法阅读该论文。但是我希望你的问题可以改写为那个问题，在这种情况下你可以证明你有一个NP完全问题。