相同的BST

Question

如果两棵树包含相同的元素集但可能具有不同的结构，则称它们是相同的。 例如4,3,5和5,4,3

如何检查两棵树是否相同？

我能想到的一种方法是使用散列。对于第一个树中的每个元素，相应的计数递增。对于第二个树中的每个元素，计数递减。最后，哈希是空的，我们确信树是相同的。 时间复杂度：O（N） 空间复杂度：O（N）

但是，这种方法没有利用树是BST还是简单的BINARY TREE。

方法2：对数组中的两个树进行遍历遍历。我们有两个具有排序数据的数组。进行线性搜索以检查阵列是否相同。 时间复杂度：O（N） 空间复杂度：O（N）

但是，我想知道是否有更好的解决方案？

Answer 1

这回答了最初措辞的问题，即在相同结构和元素意义上的树的身份之后。

比较有序（或任何其他）顺序化将不起作用：不同的树具有相同的遍历。例如，树木

^[source]

具有相同的有序遍历a,b,c,d,e。您可以使用two (different) traversals并分别检查它们是否相同。

然而，经典的解决方案是递归算法：

  equal Leaf(x)       Leaf(y)       => x == y
| equal Node(x,l1,r1) Node(y,l2,r2) => x == y && equal(l1,l2) && equal(r1,r2)
| equal _             _             => false;

它同时在两个树上执行树遍历，并且花费时间Θ（n），n是相应节点数的最大值。

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关于更新的问题，检查顺序遍历以获得元素相等就足够了。请注意，根据定义，BST的有序遍历是存储元素的排序列表，因此这种方法是正确的。以递归形式，这是算法：

  inorder Leaf(x)     = [x]
| inorder Node(x,l,r) = (inorder l) ++ [x] ++ (inorder r);

  equal []     []     = true
| equal x1::r1 x2::r2 = x1 == x2 && (equal r1 r2)
| equal _      _      = false;

  sameElems t1 t2 = let 
                      e1 = inorder t1
                      e2 = inorder t2
                    in
                      equal e1 e2
                    end;

如果列表连接可以在时间O（1）中完成，则其在时间Θ（n）和空间Θ（n）中运行;迭代解决方案肯定同样好，并且可能有更好的常量。

如果你想在o（n）时间检查，你甚至无法查看每个元素。通常，两个树都包含成对不同的元素，因此您无法利用任何范围，因此我每次通用元素相等性检查都需要时间Ω（n）（假设一个更快的算法并构造它失败的两个树）。

但是，空间可以比O（n）更好。如果你按顺序实现cleverly¹，你只需要额外的O（1）空间（指向当前元素的指针，一些管理计数器/标志）。

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1. 请注意，此算法会暂时销毁树，因此不适合并发设置。

Answer 2

散列问题是如果你有两个二叉搜索树{2, 1, 3}和{0, 0, 6}，它们可以有相同的总哈希码，你仍然有不同的元素。

顺序遍历方法可能是最有效的方法，我怀疑O(n)是你能得到的最好的，因为你需要进行n次平等比较。 / p>

Answer 3

你的后一个解决方案似乎比你的前一个更好，因为后者的最坏情况时间是O（N），最好的情况（有序遍历中的第一个元素不同）将是Ω（1） ，对于前者，最佳情况时间仍然是Ω（N），因为你必须等到最后才能确定。

作为后者的优化，你不能只使用指向每棵树中当前元素的指针而不是复制所有数据吗？用于有序遍历树的算法（至少具有自然排序）不需要制作数据的任何副本。这样你的空间复杂度就是O（1）。