Question

我在Python中有一个有趣的问题，我有两个函数（任意），我想找到它们之间的公共切线，以及x轴上公共切线触及每个函数的点。理想情况下，会有一个函数给出所有坐标（想象一组非常弯曲的函数和多个解决方案）。

所以，我有一些有用的东西，但它非常粗糙。我所做的是将每个函数放入矩阵中，因此M[h,0]包含x值，M[h,1]是function1 y值，M[h,2]是function2 y值。然后我找到了导数并将其放在一个新的矩阵D[h,1]和D[h,2]中（跨度比M[h,:]小一个。我的想法是基本上“绘制”x轴上的斜率，以及y轴上的截距，并搜索所有这些点以获得最近的一对，然后给出值。

这里有两个问题：

程序不知道最近的一对是否是解决方案
它的速度很慢（numb_of_points ^ 2搜索）。我意识到一些优化库可能有所帮助，但我担心他们会磨练一个解决方案并忽略其余的。

有人想到最好的方法吗？我的“代码”在这里：

def common_tangent(T):
    x_points = 600
    x_start = 0.0001 
    x_end = 0.9999
    M = zeros(((x_points+1),5) )
    for h in range(M.shape[0]):
        M[h,0] = x_start + ((x_end-x_start)/x_points)*(h) # populate matrix
        """ Some function 1 """
        M[h,1] = T*M[h,0]**2 + 56 + log(M[h,0])
        """ Some function 2 """
        M[h,2] = 5*T*M[h,0]**3 + T*M[h,0]**2 - log(M[h,0])
    der1 = ediff1d(M[:,1])*x_points # derivative of the first function
    der2 = ediff1d(M[:,2])*x_points # derivative of the second function
    D = zeros(((x_points),9) )
    for h in range(D.shape[0]):
        D[h,0] = (M[h,0]+M[h+1,0])/2 # for the der matric, find the point between
        D[h,1] = der1[h] # slope m_1 at this point
        D[h,2] = der2[h] # slope m_2 at this point
        D[h,3] = (M[h,1]+M[h+1,1])/2# average y_1 here
        D[h,4] = (M[h,2]+M[h+1,2])/2# average y_2 here
        D[h,5] = D[h,3] - D[h,1]*D[h,0] # y-intercept 1
        D[h,6] = D[h,4] - D[h,2]*D[h,0] # y-intercept 2
    monitor_distance = 5000 # some starting number
    for h in range(D.shape[0]):
        for w in range(D.shape[0]):
            distance = sqrt( #in "slope intercept space" find distance
                (D[w,6] - D[h,5])**2 +
                (D[w,2] - D[h,1])**2
                )
            if distance < monitor_distance: # do until the closest is found
                monitor_distance = distance
                fraction1 = D[h,0]
                fraction2 = D[w,0]
                slope_02 = D[w,2]
                slope_01 = D[h,1]
                intercept_01 = D[h,5]
                intercept_02 = D[w,6]
    return (fraction1, fraction2)

这在材料科学中有很多应用，可以在多个Gibb函数之间找到共同的切线来计算相图。为所有人提供强大的功能真是太好了......

Answer 1

您可以浏览曲线A的点，并在每个点绘制切线并计算它穿过曲线B的次数。如果交叉次数上下跳过两次，那么你知道你只是通过相互切线。这仍然相当粗糙，但我想它会比原始提案快一些，因为你不需要在曲线B上有很多采样点来计算曲线穿过给定切线的次数。（只计算曲线B在线上方与线下方之间切换的次数。）

（当然，如果你的样本太少，你可能会错过双切线附近的一对交叉点，但没关系，你仍然会接近双切线。你可以而且应该添加一个一旦你非常接近真正的双正切，你就可以使用单独的估计精化算法。你可以使用类似于牛顿方法，递归二分法等的东西。）

如果你更认真，我找到this more sophisticated discussion。

Answer 2

您可以使用Legendre transform将问题转换为求解两条曲线的交集，而不是解决常见的切线问题。一旦你这样做，你就可以获得＃34;公共切线区域＆＃34;通过使用您发现的相等性作为两个原始函数必须满足的条件。

常用切线函数

2 个答案: