抛物线与线段的交点

Question

我有一个与指定点相交的抛物线曲线的等式，在我的情况下，用户点击图形。

 // this would typically be mouse coords on the graph
 var _target:Point = new Point(100, 50);

 public static function plot(x:Number, target:Point):Number{
  return (x * x) / target.x * (target.y / target.x);
 }

这给出了如下图：

我还有一系列由起点和终点坐标定义的线段：

startX:Number, startY:Number, endX:Number, endY:Number

我需要找到此曲线与这些段（A）相交的位置和位置：

如果有任何帮助，startX始终为< endX

我觉得有一种相当直接的方法可以做到这一点，但我真的不知道要搜索什么，也不是我非常精通“正确”的数学，因此非常感谢实际的代码示例。

更新：

我有交叉点工作，但我的解决方案给了我y轴错误侧的坐标。

分别用A和B替换目标坐标，给出了该图的等式：

(x * x) / A * (B/A)

// this simplifies down to:
(B * x * x) / (A * A)

// which i am the equating to the line's equation
(B * x * x) / (A * A) =  m * x + b

// i run this through wolfram alpha (because i have no idea what i'm doing) and get:
(A * A * m - A * Math.sqrt(A * A * m * m + 4 * b * B)) / (2 * B)

这个是一个正确答案，但我想要第二个可能的变化。 我已经设法通过在计算之前将m与-1相乘并使用最后一次计算返回的x值进行相同的操作来纠正此问题，但这感觉就像是黑客。

解决方案：

 public static function intersectsSegment(targetX:Number, targetY:Number, startX:Number, startY:Number, endX:Number, endY:Number):Point {
  // slope of the line
  var m:Number = (endY - startY) / (endX - startX);

  // where the line intersects the y-axis
  var b:Number = startY - startX * m;

  // solve the two variatons of the equation, we may need both
  var ix1:Number = solve(targetX, targetY, m, b);
  var ix2:Number = solveInverse(targetX, targetY, m, b);

  var intersection1:Point;
  var intersection2:Point;

  // if the intersection is outside the line segment startX/endX it's discarded
  if (ix1 > startX && ix1 < endX) intersection1 = new Point(ix1, plot(ix1, targetX, targetY));
  if (ix2 > startX && ix2 < endX) intersection2 = new Point(ix2, plot(ix2, targetX, targetY));

  // somewhat fiddly code to return the smallest set intersection
  if (intersection1 && intersection2) {
   // return the intersection with the smaller x value
   return intersection1.x < intersection2.x ? intersection1 : intersection2;
  } else if (intersection1) {
   return intersection1;
  }

  // this effectively means that we return intersection2 or if that's unset, null
  return intersection2;
 }

 private static function solve(A:Number, B:Number, m:Number, b:Number):Number {
  return (m + Math.sqrt(4 * (B / (A * A)) * b + m * m)) / (2 * (B / (A * A)));
 }

 private static function solveInverse(A:Number, B:Number, m:Number, b:Number):Number {
  return (m - Math.sqrt(4 * (B / (A * A)) * b + m * m)) / (2 * (B / (A * A)));
 }

 public static function plot(x:Number, targetX:Number, targetY:Number):Number{
  return (targetY * x * x) / (targetX * targetX);
 }

Answer 1

或者，更明确。

如果你的抛物线是 y(x)= A x2+ B x + C (Eq 1)

你的路线是 y(x) = m x + b (Eq 2)

x的两个可能的解决方案（+和 - ）是

x = ((-B + m +- Sqrt[4 A b + B^2 - 4 A C - 2 B m + m^2])/(2 A))   (Eq 3)

您应该检查您的网段端点（在x中）是否包含这两个点中的任何一个。如果是这样，只需替换y = m x + b等式中的相应x即可得到交点的y坐标

编辑＆gt;

要得到最后一个等式，你只需要说等式1中的“y”等于等式2中的“y”（因为你正在寻找交叉点！）。 这给了你：

A x2+ B x + C = m x + b


并重新组合

A x2+ (B-m) x + (C-b) = 0

这是一个二次方程。

公式3只是这个二次方的两种可能的解决方案。

编辑2＆gt;

重新阅读你的代码，似乎你的抛物线是由 y(x) = A x2


其中
A = (target.y / (target.x)2)

所以在你的情况下，Eq 3变得简单

 x = ((m +- Sqrt[4 A b + m^2])/(2 A))   (Eq 3b)  

HTH！

Answer 2

获取曲线的等式并将您的线放入y = mx + b形式。求解x，然后确定X是否在您的线段的起点和终点之间。

退房：http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.03/senthil1.html

Answer 3

您是否经常这样做，希望在实际计算交叉点之前进行单独的测试以查看交叉点是否存在？如果是这样，考虑你的抛物线是函数f（x，y）= y - （B * x * x）/（A * A）的水平集 - 特别是f（x， y）= 0.将两个端点插入f（x，y） - 如果它们具有相同的符号，则它们位于抛物线的同一侧，而如果它们具有不同的符号，则它们位于不同的侧面抛物线。

现在，你仍然可能有一个与抛物线相交的段，而且这个测试没有捕捉到它。但是关于你定义问题的方式让我觉得也许你的应用程序可以。

Answer 4

换句话说，您需要计算每个线段y = Ax + B的等式，将其与曲线方程y = Cx^2 + Dx + E进行比较，然后Ax + B - Cx^2 - Dx - E = 0，看看startX之间是否存在解决方案}和endX值。