在整数线性规划中对Conway的生命游戏进行建模？

Question

我正在尝试使用整数线性编程来建模Conway's game of life规则，但是我坚持使用其中一条规则。

我认为有限 n x n网格。网格中的每个单元格都与变量X(i,j)相关联，如果单元格已死，则其值为0，如果单元格处于活动状态，则为1。

我对静物特别感兴趣，即根据规则不会瞬间改变为下一个的配置。

为了找到它们，我对每个细胞的邻居数施加了限制。因此，要使活着的单元格保持静止，它必须具有2或3个邻居，这很容易表达：

2(1-X(i,j)) + Σ(i,j) >= 2

-5(1 - X(i,j)) + Σ(i,j) <= 3

Σ(i, j)是(i, j)的邻居的总和（假设在网格之外，值都是0 s。）

如果X(i,j) == 0，那么第一个加数可以保证满足约束条件。当X(i, j) == 1约束条件保证我们有静物时。

问题是另一条规则：对于死细胞保持死亡，它必须具有与3不同的任意数量的邻居。 但是，AFAIK不能在约束中使用!=。

我最接近的是：

X(i, j) + |Σ(i, j) - 3| > 0

哪个表达我想要的，但问题是我不认为绝对值可以这样使用（只能表达单个变量的绝对值。或者有没有办法表达这种特殊情况？）。

我想知道，是否有一种表达!=的标准方式？ 我在想，也许我应该使用多个不等式而不是单个不等式（例如，对于每个可能的三个/四个邻居......），但我想不出任何合理的方法来实现它。

或许有一些方法可以滥用优化功能来惩罚这种情况，因此，获得最佳结果会产生正确的解决方案（或根据价值确定不可能的状态）。

是否有人能够使用线性不等式和变量X(i, j)（加上最终的一些新变量）表达该约束？

Answer 1

表达的标准方式

表示为

引入一个新的二元变量，指示哪个不等式成立。

第7.4节解释了here。

简而言之，如果我们将y定义为

然后我们需要添加约束

哪里

这是建立此模型的标准方式，但在特定应用程序中可能有更好的方法。通常，总和上的边界越紧密，求解器性能越好。