Question

CLRS说

我们必须展示关于循环不变量的三件事：


初始化：在循环的第一次迭代之前确实如此。

维护：如果在循环迭代之前为真，则在下一次迭代之前保持为真。

终止：当循环终止时，不变量为我们提供了一个有用的属性，可以帮助证明算法是正确的。

我的问题是我可以编辑这些步骤并将其改为：

初始化：循环的第一次迭代后确实如此。
维护：如果在循环迭代后为真，则在下一次迭代后仍然为真。
终止：当循环终止时，不变量为我们提供了一个有用的属性，可以帮助证明算法是正确的。

说明：基本上我们使用数学归纳原理来证明正确性。使用＆＃34;初始化＆＃34;我们证明该属性在第一次迭代后保持不变。使用＆＃34;维护＆＃34;我们可以证明该属性适用于所有迭代，因为＆＃34;初始化＆＃34;和＆＃34;维护＆＃34;一起创造一个链。因此，该属性也在最后一次迭代后保留。

示例：

RANDOMIZE-IN-PLACE(A) 
1 n ← length[A] 
2 for i ← to n
3 do swap A[i] ↔ A[RANDOM(i, n)]

对于这个算法，已经在教科书中使用标准程序给出了证据（我没有在这里包括它，因为它太长了）。

我的建议：

循环不变：在第2-3行的for循环的i ^th迭代之后，对于每个可能的（i）-permutation，子数组A [1 .. i]包含这个（i） - 概率的概率（n - i）！/ n！。
初始化：在1 ^st迭代之后A [1]包含这种置换概率（n-1）！/ n！= 1 / n，这是真的。< / LI>
维护：在（i-1）^th迭代后让它成立。在（i）^th迭代之后，A [1 ... i]包含概率[（n-i + 1）！/ n！] * [1 /（n-i + 1）的这种置换）] =（NI）！/ N！这就是我们想要的。
终止：终止时，i = n，我们认为子阵A [1 .. n]是给定的n-置换概率（n - n）！/ n！ = 1 / n！因此，RANDOMIZE-IN-PLACE产生均匀的随机排列。

我的解释在逻辑上是否合理？

非常感谢任何帮助。感谢。

Answer 1

除了事实之外，你必须做一个额外的步骤，它涵盖了从不运行的循环，你当然也可以证明在第一次迭代后不变量是真的，而不是证明它在真正的之前是真的。第一次迭代。

但我怀疑这通常会有多大意义

首先，如前所述，您已经有一个特殊情况（如果完全没有执行循环会发生什么），这可能会导致您想要首先跳过的证明，类似于初始化
其次，第一次迭代后不变量为真的证明很可能与Maintanance证明非常相似，因此您可能会编写两个非常相似的证明，只是为了跳过初始化，这可能是非常容易证明。

<强>类比

虽然这没有直接关系，但这个问题听起来很像试图优化以下（伪）代码：

int product(int[] values)
    product = 1
    for i = 0 to values.size - 1
        product *= values[i]
    return product

对此：

int product(int[] values)
    product = values[0] // to make the code quicker, start with the first item already
    for i = 1 to values.size - 1 // start the loop at the second item
        product *= values[i]
    return product

只是，您现在必须包含额外的检查，values数组是否为空（我在上面的代码中没有）

我们能否使用循环不变量证明算法的正确性，我们在第一次迭代之后而不是之前证明它是真的？

1 个答案: