证明最小堆中的最大项必须位于其中一个叶子上

Question

如何证明最小堆中的最大项目必须位于其中一个树叶中，在包含N个项目的树中？

我理解最小堆的整体设计，并且我可以显示/图表最大项位于其中一个叶子（深度为N + 1的节点>深度为N的节点）。我不确定如何格式化证据。

Answer 1

首先，请注意“heap”属性要求以非叶子节点为根的子树也应该保持堆属性，因为它们也是堆。对于min-heap，“heap”属性是root值应该小于子节点的值。

如果最小堆的任何非叶节点保存最大项，则违反其根是当前非叶节点的子树的堆属性，因为此子树的子值小于根值。要保持堆属性，必须将根值向下浮动到其中一个子级。

为了不违反“heap”属性，“maximum”项的向下浮动将继续，直到保持最大值的节点不再有子节点。因此，“最大”项将始终位于没有子节点的节点（即叶节点）。

Answer 2

简单地说明答案，假设为了矛盾，最大值是非叶子。这违反了堆属性，对于min-heap，要求节点小于其子节点的值。因此，最大值必须在叶子中。